A lógica analítica do Pinóquio na OBMEP 2022 e um algoritmo para resolver o problema.

Criei um algoritmo para responder à questão do Pinóquio na Olimpiada Brasileira de Matemática e você não vai acreditar no que aconteceu...

A Olimpiada brasileira de Matemática (OBMEP) bombou nas redes sociais após sua edição de 2022 graças à uma questão sobre o personagem Pinóquio, que gerou diversas dúvidas e confusões na Internet. Na imagem abaixo podemos ver essa pergunta:

Imagem divulgada nas redes sociais – OBMEP 2022

É uma pergunta de lógica e que inicialmente poderia ser respondida pela Lógica Formal da Matemática. Se a premissa é que Pinóquio sempre mente, portanto sua afirmação é falsa. Já lógica formal responde sempre se uma resposta é verdadeira ou falta (Exemplos: 5=5 é Verdadeiro, 5=4 é falso), podemos já responder essa questão colocando sua frase como falsa com a adição de uma negação no começo dela.

Portanto, se Pinóquio diz: “Todos os meus chapéus são verdes”, na lógica formal de premissa falsa, a frase seria transformada em “Nem todos os meus chapéus são verdes.”

Pronto. Essa é a resposta.

Mas calma. A OBMEP foi bastante inteligente ao não colocar essa resposta ou respostas correlatas nas possibilidades de conclusão, portanto, apontando que esse não é uma problema de lógica formal, que poderia ser dedutiva ou indutiva. Portanto podemos perceber que esse é um problema de Lógica Analítica, necessitando do uso de lógica subdutiva.

A Lógica analítica na questão do Pinóquio.

Explicando apenas o essencial, já que renderia um texto enorme explicar, a Lógica Analítica é algo presente em diversas ciências contemporâneas, em especial na utilização da Ciência de Dados como modo de observar a realidade. A observação dessa realidade, a partir da lógica subdutiva, que anda de mãos dadas com a analítica, depende de observações posteriores da realidade (conhecimentos prévios) e foge da lógica formal de Verdadeiro ou Falso.

Em programação, verdadeiro ou falso podem ser transformados em 1 e 0 respectivamente, então na lógica analítica, a resposta pode ser intermediária, podendo ser verdadeiro, parcialmente verdadeiro, parcialmente falso, falso ou mesmo nulo (a piada que circula a Tecnologia da Informação é que resposta nula é igual a bug, quebra seu código). Portanto, a resposta pode ser 0, ou 1 ou qualquer infinita possibilidade de número entre 0 e 1.

A análise de dados para a observação da realidade necessita desses pressupostos, pois essa realidade nunca é tão simples. Por exemplo, ao perguntar se alguém gosta de bolo de laranja, a resposta não necessariamente vai ser um Sim ou um Não. Alguém pode, por exemplo, responder que apenas gosta do bolo de laranja feito pela sua avó ou apenas do bolo de laranja de uma marca industrial específica.

E nesse modelo de lógica que entra a resposta para a pergunta do Pinóquio. Para respondê-la, não podemos pensar em uma simples equação que responderia uma lógica formal, mas precisamos pensar em um algoritmo.

Não se assuste. É mais simples do que parece.

O Algoritmo do Pinóquio.

Para iniciar o algoritmo, iremos transformar as premissas da afirmação de Pinóquio em símbolos. Esses símbolos devem apontar para os valores mais importantes presentes na frase. Portanto “Todos os meus chapéus são verdes”, podem ser transformados em:

  • T = Quantidade total de chapéus que o Pinóquio possui
  • C = Quantidade de chapéus verdes de pinóquio.

O pressuposto inicial já nos dá o início do algoritmo.

  • C ≠ T (C é diferente de T)

Porém isso ainda representa apenas a lógica formal e uma incerteza matemática já que C e T podem ter absolutamente qualquer valor, contanto que seja diferente.

A partir daqui, teremos que utilizar a subdução (conhecimentos prévios do funcionamento da realidade) para melhorar esse algoritmo e chegar em alguma resposta.

Observando a realidade já podemos pressupor uma coisa: C jamais poderá ser maior do que T, já que seria impossível que a quantidade de chapéus verdes seja maior do que a quantidade total de chapéus. Portanto, C deve ser menor do que T. Assim, atualizamos essa equação algoritmica.

  • C <≠ T (C é diferente e menor do que T)

A resposta poderia parar por aqui, mas a lógica analítica sempre pede por mais, assim como as possibilidades de respostas da OBMEP, nesse caso.

Outra conclusão da realidade é que, sendo os chapéus um elemento físico da realidade, não tem como Pinóquio ter menos do que 0 chapéus. Não tem como um elemento físico da realidade (a não ser na física quântica, mas essa é outra história), ser menor do que a sua não existência representada pelo valor 0. Ele estaria em dívida (E antes que pense na sua dívida com algum banco ou crediário que coloca seu saldo no vermelho, lembrem-se que o dinheiro é apenas uma ideia que pode ou não ser materializado em moeda, porém, quando materializado, ele é sempre igual ou maior que zero).

Outro pressuposto da realidade, é que não tem como Pinóquio ter frações de chapéu, pois eles se tornariam inutilizáveis, assim como boa parte das frações de objetos complexos produzidos pela humanidade (E, novamente, não me venham com dinheiro e nem com medidas de grandeza, que seguem a mesma lógica que o dinheiro). Portanto, T deve ser um número inteiro, ou, sendo mais categórico, um número natural, já que ele não pode ser menor do que zero.

Com isso, agora nossa equação se torna se torna um algoritmo de verdade, virando um código de 3 linhas. (URRRUUUU)

  • T = N (Quantidade Total de chapéus é um número Natural).
  • T => 0 (Quantidade total de chapéus é igual ou maior que zero)
  • C <≠ T (C é diferente e menor do que T)

Outro elemento da realidade são as próprias possibilidades de respostas que a Olimpiada de matemática apontou. Olharemos para elas como se fossem outro elemento da lógica analítica: AS TEORIAS DA REALIDADE.

  • A – PINÓQUIO TEM, PELO MENOS UM CHAPÉU
  • B – PINÓQUIO TEM APENAS UM CHAPÉU VERDE
  • C – PINÓQUIO NÃO TEM CHAPÉUS
  • D – PINÓQUIO TEM, PELO MENOS, UM CHAPÉU VERDE
  • E – PINÓQUIO NÃO TEM CHAPÉUS VERDES

Sabendo apenas que a quantidade de chapéus verdes deve ser menor e diferente da quantidade total de chapéus (C <≠ T) ainda não podemos chegar a nenhuma dessas conclusões. Então podemos partir para testes lógicos, colocando valores em C e T para ver o que acontece.

Na primeira tentativa, já podemos observar um erro lógico que existe por conta das possibilidades de respostas oferecidas pela OBMEP. É possível que T seja igual à 0?

Se T puder ser igual a Zero, significaria que Pinóquio pode não ter chapéu nenhum. O que poderia nos levar a apontar erroneamente à resposta C como a correta para a questão, porém aí temos um problema de lógica, pois, também existe a possibilidade de T ser igual a qualquer outro número maior do que zero.

Com isso, eu não conseguiria concluir se Pinóquio tem ou não Chapéu e essa conclusão é um pressuposto para a resposta da OBMEP (e para que o algoritmo não seja inútil).

Portanto é necessário pressupor que a quantidade de chapéus de Pinóquio seja maior do que 0, pois, se não for, a lógica perderá completamente sua utilidade.

Outro pressuposto da realidade que chegaria na mesma questão é que ter ao menos um chapéu é um conhecimento comum, seja pela forma como a frase é dita, que chega a suposição de que Pinóquio tem algum chapéu; seja por conhecimento prévio da vestimenta do personagens. Porém ambas podem ser desconsideradas ao se colocar a necessidade acima.

Aqui chegamos em outra definição da lógica Analítica: Ela aceita suposições necessárias, diferente da lógica formal, quando essas necessidades são pressupostos de sua existência.

Com isso, chegamos em um algoritmo final que já pode responder à questão apresentada.

  • T = N (Quantidade Total de chapéus é um número Natural).
  • T > 0 (Quantidade total de chapéus é maior que zero)
  • C <≠ T (C é diferente e menor do que T)

Testando a realidade com um algoritmo.

E agora, fazemos o teste lógico, perguntando coisas ao algoritmo. Essas perguntas, diferente da lógica formal, não almeja descobrir se algo é verdadeiro ou falso, mas sim descobrir se uma afirmação é possível ou impossível de ser feita.

Portanto, vamos pensar nas possibilidades de cada questão, fazendo as perguntas sobre as possibilidades.

  • A – É possível concluir que Pinóquio tem, pelo menos, um chapéu? Se T é um número natural e é maior do que zero, então SIM, essa é uma conclusão possível.
  • B – É possível concluir que Pinóquio tem apenas um chapéu verde? Se T pode ser qualquer número maior que zero e C é sempre menor do que T, então C pode ser qualquer valor entre 0 até o infinito. Então NÃO, essa é uma conclusão impossível.
  • C – É possível afirmar que Pinóquio não tem chapéus? Se T é maior do que zero, então NÃO, é uma conclusão impossível (lembrando que, ignorando conhecimentos prévios não presentes na pergunta de que Pinóquio tem, ao menos um chapéu, seria possível T ser igual zero, porém com a possibilidade de T também ser maior do que 0, a única conclusão possível seria a de que ele pode ou não ter chapéus, tornando todas as perguntas posteriores em algo inútil na resolução do problema).
  • D – É possível afirmar que Pinóquio tem, pelo menos, um chapéu verde? Se T é maior do que zero e C é diferente e menor do que T, então há a possibilidade de C ser igual a zero, portanto, NÃO, essa é uma conclusão impossível.
  • E – É possível afirmar que Pinóquio não tem chapéus verdes? Se T é maior do que zero e C é diferente e menor do que T, então há a possibilidade de C ser igual a qualquer número inteiro entre 0 e o infinito. Portanto NÃO, essa é uma conclusão impossível.

Utilizando esse algoritmo para observar as possibilidades, chegamos a conclusão que a única afirmação possível de ser feita é a representada pela alternativa A – Pinóquio tem, pelo menos, um chapéu.

Espero que tenham gostado dessa experiência doida. Qualquer coisa, chamem nas redes sociais =D